| [Посетитель (111.8.*.*)]Ответы [Китайский ] | Время :2020-04-02 | Для данного поля F его алгебраическое замыкание эквивалентно каждому из следующих свойств:
Неприводимый многочлен тогда и только тогда, когда многочлен первой степени
Поле F является алгебраическим замкнутым полем тогда и только тогда, когда неприводимый многочлен в кольце F [x] есть и может быть только многочленом первой степени.
Утверждение, что «многочлен первой степени неприводим», верно для любой области. Если F - алгебраическое замкнутое поле и p (x) - неприводимый многочлен от F [x], то у него есть некоторый корень a, поэтому p (x) кратно x - a. Поскольку p (x) неприводимо, это означает, что для некоторого k ∈ F \\ {0} существует p (x) = k (x - a). С другой стороны, если F не является алгебраическим замкнутым полем, то существует некоторый непостоянный многочлен p (x) в F [x], который не имеет корня в F. Пусть q (x) - некоторый неприводимый множитель p (x). Поскольку p (x) не имеет корня в F, q (x) не имеет корня в F. Следовательно, степень q (x) больше единицы, потому что у каждого многочлена степени есть корень из F.
Каждый многочлен является произведением многочлена первой степени
Поле F является алгебраическим замкнутым полем, и тогда и только тогда, когда каждый коэффициент равен n ≥ 1 в степени F, многочлен p (x) можно разложить в линейный множитель. То есть существуют элементы k, x1, x2, ..., xn поля F, такие что p (x) = k (x - x1) (x - x2) ... (x - xn).
Если F обладает этим свойством, то, очевидно, каждый непостоянный многочлен в F [x] имеет корень в F, то есть F является алгебраическим замкнутым полем. С другой стороны, если F - алгебраическое замкнутое поле, то в соответствии с предыдущим свойством и для любого поля K любой многочлен из K [x] можно записать как произведение неприводимого многочлена, и это свойство выводится для истинного для F.
Каждый автоморфизм Fn имеет собственный вектор
Поле F является алгебраическим замкнутым полем. Если и только для каждого натурального числа n, любое линейное отображение из F в себя имеет определенный вектор признаков.
Автоморфизм F ^ n имеет вектор признаков тогда и только тогда, когда у его полинома функций есть определенный корень. Поэтому, если F - алгебраическое замкнутое поле, каждый автоморфизм F ^ n имеет собственный вектор. С другой стороны, если каждый автоморфизм F ^ n имеет вектор признаков, пусть p (x) будет элементом F [x]. Разделив его на первый членный коэффициент, мы получим другой многочлен q (x), который имеет корни тогда и только тогда, когда p (x) имеет корни. Но если q (x) = x ^ n an-1x ^ n-1 ··· a0, то q (x) является характеристическим полиномом следующей матрицы друзей:
0 0 0 …… 0 -a01 0 0 …… 0 -a10 1 0 …… 0 -a2
Разложение рациональных выражений
Поле F является замкнутым алгебраическим полем, если и только если каждая унарная рациональная функция, коэффициенты которой находятся в F, может быть записана как сумма полиномиальной функции и нескольких рациональных функций вида a / (x - b) ^ n, где n - Натуральные числа, a и b являются элементами F.
Если F - алгебраическое замкнутое поле, то, поскольку все неприводимые многочлены в F [x] имеют одну степень, согласно теореме о разложении по частичным дробям, указанные выше свойства имеют место.
С другой стороны, предположим, что указанные выше свойства справедливы для области F. Пусть p (x) - неприводимый элемент в F [x]. Тогда рациональная функция 1 / p может быть записана в виде суммы полиномиальной функции q и нескольких рациональных функций вида a / (x - b) ^ n. Поэтому рациональные выражения
Можно записать как частное от двух многочленов, где знаменатель является произведением многочленов первой степени. Поскольку p (x) неприводимо, оно должно быть в состоянии разделить это произведение, поэтому оно также должно быть полиномом первой степени. |
|
